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作者:Thomas W.Judson
出版社: Virginia Commonwealth University Mathematics
出版年: 2011-8-10
页数: 384
定价: USD 19.95
装帧: Hardcover
ISBN: 9780982406250

内容简介 · · · · · ·

Abstract Algebra: Theory and Applications is an open-source textbook written by Tom Judson that is designed to teach the principles and theory of abstract algebra to college juniors and seniors in a rigorous manner. Its strengths include a wide range of exercises, both computational and theoretical, plus many nontrivial applications.

The first half of the book presents group th...

作者简介 · · · · · ·

Dr. Judson is interested in high school and university mathematics education in the United States and Japan, the effects of lesson study on teaching practice, and how new teachers learn to understand their students. He also studies complete filtered Lie algebras, the algebraic objects corresponding to pseudogroups and transitive differential geometries.

目录 · · · · · ·

Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 A Short Note on Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sets and Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 A Short Note on Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sets and Equivalence Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 The Integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Mathematical Induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 The Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Integer Equivalence Classes and Symmetries . . . . . . . . . . 37
3.2 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Cyclic Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.1 Cyclic Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Multiplicative Group of Complex Numbers . . . . . . . . . . 63
4.3 The Method of Repeated Squares . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5 Permutation Groups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.1 Definitions and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.2 Dihedral Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Cosets and Lagrange's Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.1 Cosets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.2 Lagrange's Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Fermat's and Euler's Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7 Introduction to Cryptography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
7.1 Private Key Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7.2 Public Key Cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8 Algebraic Coding Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 Error-Detecting and Correcting Codes . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Linear Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
8.3 Parity-Check and Generator Matrices . . . . . . . . . . . . . 126
8.4 Efficient Decoding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9 Isomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.1 Definition and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
9.2 Direct Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10 Normal Subgroups and Factor Groups 156
10.1 Factor Groups and Normal Subgroups . . . . . . . . . . . . . 156
10.2 The Simplicity of the Alternating Group . . . . . . . . . . . . 159
11 Homomorphisms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.1 Group Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.2 The Isomorphism Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
12 Matrix Groups and Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.1 Matrix Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
12.2 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13 The Structure of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.1 Finite Abelian Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
13.2 Solvable Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
14 Group Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.1 Groups Acting on Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.2 The Class Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
14.3 Burnside's Counting Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
15 The Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.1 The Sylow Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.2 Examples and Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
16 Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.1 Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.2 Integral Domains and Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
16.3 Ring Homomorphisms and Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.4 Maximal and Prime Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.5 An Application to Software Design . . . . . . . . . . . . . . . 254
17 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
17.1 Polynomial Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
17.2 The Division Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
17.3 Irreducible Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
18 Integral Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
18.1 Fields of Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
18.2 Factorization in Integral Domains . . . . . . . . . . . . . . . . 288
19 Lattices and Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
19.1 Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
19.2 Boolean Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
19.3 The Algebra of Electrical Circuits . . . . . . . . . . . . . . . . 313
20 Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.1 Definitions and Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
20.2 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
20.3 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
21 Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
21.1 Extension Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
21.2 Splitting Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
21.3 Geometric Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
22 Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
22.1 Structure of a Finite Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
22.2 Polynomial Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
23 Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
23.1 Field Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
23.2 The Fundamental Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
23.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Hints and Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
GNU Free Documentation License . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
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